OS PARADOXOS LÓGICOS

“Um paradoxo é uma frase autocontraditória, falsa e verdadeira ao mesmo tempo, que fere o Princípio da Não-contradição” (MORAIS FILHO, 2007).

“Paradoxos e dilemas demonstram ou pelo menos tentam demonstrar incoerências em nossas crenças e padrões de pensamento. Fazem a gente repensar a natureza das coisas”

Paradoxo de Russel:

{x: x ∉ x} não existe

Demonstração: Suponhamos que a = {x: x ∉ x} existe. Então (∀x) (x ∈ a ↔ x ∉ x), em particular (a ∈ a ↔ a ∉ a). Absurdo”.

Desvendando as Demonstrações

Matemágica

•     Escolha quantos dias da semana você gosta de sair para passear.

•     Multiplique este número por 2.

•     Adicione 5 ao resultado obtido.

•     Multiplique o resultado por 50.

•     Se você já fez aniversário no ano de 2011, some 1761 ao número encontrado; se ainda não aniversariou, some 1760.

•     Finalmente, para completar, subtraia o ano do seu nascimento do resultado encontrado.

•     Você está agora com um número de 3 dígitos.

•     Observe: o primeiro dígito é o número de dias da semana que você gosta de passear e o número formado pelos dois últimos dígitos é sua idade!

•     Por que a Matemática funciona assim?

•     Como funciona?

•     Precisamos descobrir o truque e depois provar que a “Matemágica” sempre vale quando aplicada para qualquer pessoa. Nada, ainda, nos garante essa validade.

•     Como garantir que certos resultados são válidos?

•     Qual a razão que nos leva a acreditar na validade de certos fatos, principalmente aqueles que não sejam simples ou naturais de serem aceitos?

•     No caso da Matemática, uma resposta é: uma demonstração matemática.

Demonstração e Implicação Material

O que quer exprimir um Condicional?

•     A discussão sobre a tabela verdade de um condicional é muito antiga.

•     Todo mundo parece concordar que se o antecedente de uma implicação for verdadeiro, e o consequente falso, então a implicação, como um todo, será falsa.

•     A Lógica clássica toma uma decisão radical: fora o caso visto acima em que uma implicação é falsa, em todos os outros, ela será verdadeira.

•     Você há de concordar que esta é uma situação muito esquisita (MORTARI,2001 ). Por exemplo, nessa análise, uma sentença como “Se 2 + 2 = 5 então a Lua é feita de queijo” é uma implicação verdadeira. Mas, certamente, não estamos dispostos a concordar que 2 + 2 = 5 implica que a Lua é feita de queijo, pois uma coisa não tem nada a ver com a outra.

•     Um matemático deseja provar que, sendo x um número natural ímpar, então  x + 1 é par, ele  inicia assumindo a hipótese de que x é impar, e mediante as leis da Aritmética, mostra que x + 1 é par.

•     Ele tem condições de afirmar que obteve uma prova do condicional:

“Se x é impar, então x + 1 é par”

(Costa e Krause)

•     Exercício: Qual a justificativa que você daria para o seguinte argumento: Pedro está ensinando Paulo que se x é impar, então x + 1 é par. Mas Paulo retruca: “Mas, se x = 6, então x + 1 não é par, pois x + 1 = 7 que é impar”. O que há de errado no raciocínio de Paulo?

•     Para garantir a sua afirmativa, Pedro não poderia se valer de alguns casos particulares, mostrando a Paulo que eles satisfazem a proposição dada, como por exemplo, raciocinando da seguinte forma:

“Veja Paulo: 5 é ímpar, e 6 = 5 + 1 é par, e o mesmo ocorre com 1, com 7 ou com qualquer número ímpar quem você tomar”.

•     Se Paulo tiver uma mente matemática, ele requererá de Pedro uma demonstração deste fato, que valha para todos os números naturais ímpares e, como há uma infinidade deles, de nada adiantaria Pedro ficar listando caso a caso.

•     Aos matemáticos interessam as provas (demonstrações), e por isso a nossa insistência em que você deve entender em que elas consistem.

Obra: Um convite à matemática: fundamentos lógicos, com técnicas de demonstração, notas históricas e curiosidades.

Autor: Daniel Cordeiro Morais Filho, Campina Grande, EDUFCG, 2007

Apresentação realizada pela professora Mestra Lêda Ferreira Cabral – UNESP